Анатолий Николаевич родился в Свердловске 7 августа 1950 года, закончил теоретическое отделение специальной музыкальной школы-десятилетки при Уральской консерватории, а затем в 1973 году и сам этот музыкальный вуз по классу В.Д. Бибергана. Ещё в годы учёбы им были написаны произведения, привлёкшие внимание слушателей оригинальностью концепций, глубиной содержания, строгим отбором выразительных средств: вокальный цикл «Антимиры» и Фортепианный секстет, дипломные работы – «Драматическая фреска» для симфонического оркестра и кантата «Себежские песни». В студенческие годы началась и его почти пятидесятилетняя деятельность в родном вузе на кафедре композиции и инструментовки, где он прошёл путь от преподавателя до профессора и заведующего кафедрой, воспитав около 30 профессиональных композиторов. Анатолия Николаевича можно с полным правом назвать главой уральской композиторской школы, ведь среди его учеников – музыканты, получившие широкое общественное признание: заслуженные деятели искусств РФ А.Д. Кривошей, А.А. Пантыкин, лауреаты международных конкурсов О. Пайбердин, С. Патроманский, А. Красильщикова.

Не менее значима и композиторская деятельность А.Н. Нименского. В 1980 г. он был принят в Союз композиторов СССР, в 1982–1989 гг. входил в состав правления Уральской композиторской организации, руководил творческим объединением молодых композиторов и музыковедов Уральского региона, а затем в 1995–2001 гг. Уральским отделением Союза композиторов России. Его музыка звучала во многих городах России и за рубежом (Германия, Монголия, Финляндия, Чехия, Швеция, Япония). Его оркестровые сочинения исполнялись под управлением таких известных дирижеров, как М. Паверман, А. Фридлендер, А. Чистяков, А. Борейко, Е. Бражник, Д. Лисс. В 2002 г. композитору была присуждена премия губернатора Свердловской области «За выдающиеся достижения в области литературы и искусства», а в 2010 г. он был удостоен почетного звания «Заслуженный деятель искусств Российской Федерации». 

Как человек и как художник А.Н. Нименский настолько прочно укоренён в культуре родного края, так полно сумел выразить в своём творчестве его своеобразие, что ещё при жизни его можно было назвать культурным достоянием Екатеринбурга. Коллега А.Н. Нименского, известный композитор В.А. Кобекин писал: «Творчество Анатолия Нименского — это образец вдохновенной, ответственной и высокопрофессиональной работы. Я не знаю у него ни одного проходного сочинения. Всё что выходит из-под пера композитора — талантливо, ярко, мастерски сделано, увлекает и исполнителей, и слушателей». Поэтому жизнь А.Н. Нименского – композитора, педагога, общественного деятеля продолжается в его музыке, в его учениках, в благодарной памяти его коллег и слушателей.